Теорема о замене эквивалентных величин под знаком предела

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ. ПРИМЕРЫ

Если существует предел, то функция называется бесконечно малой в точке . . вам хорошо знаком – это функции первого замечательного предела. поэтому после замены аргумент тоже необходимо возвести в квадрат. Найти предел функции, используя эквивалентные бесконечно малые величины. Сравнение бесконечно малых функций. Теорема о замене функции на эквивалентную под знаком предела. Таблица эквивалентных бесконечно малых. Свойства эквивалентных бесконечно малых . Замена эквивалентных величин непрерывна в своей области определения, можно поменять местами знак предела и логарифмической функции: . Основные теоремы о пределах.

Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем.

Эквивалентные бесконечно малые, применение к нахождению пределов.

Условные выражения характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей. При вычислении предела числитель и знаменатель данной дроби разделили на x в старшей степени. Следующие виды неопределенностей с помощью алгебраических преобразований функции, стоящей под знаком предела, сводят к одному из рассмотренных выше случаев.

График функции изображен на рисунке.

Сравнение бесконечно малых, таблица бесконечно малых

Приведем доказательство записанной формулы. Поэтому на основании теоремы 4 о пределах заключаем. Выведенная формула и называется первым замечательным пределом. Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности. Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами.

Теорема о замене функции на эквивалентную под знаком предела

Тогда будем пользоваться следующими определениями. Еслито f x называется бесконечно малой высшего порядка, чем g x относительно g x. Еслито функции f x и g x называются бесконечно малыми одногопорядка. Еслито f x называется бесконечно малой k-го порядка относительноg x. Еслито функции f x и g x называются эквивалентными бесконечно малыми. В этом случае обе функции стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью.

Следовательно, f x — бесконечно малая высшего порядка относительно g x. Поэтому f x и g x одного порядка. Поэтому говорят, что функции f и g не сравнимы.

При вычислении пределов полезно помнить о следующем свойстве эквивалентных бесконечно малых функций. Тогдачто и требовалось доказать. В пределе получилась баранка, следовательно, функция числителя более высокого порядка малости, чем функция знаменателя.

Бесконечно малые функции. Замечательные эквивалентности в пределах

Как и в случае с бесконечно большими функциями, ответ можно узнать заранее. Пример 2 Вычислить предел Ноль на ноль…. Давайте сразу узнаем ответ: Алгоритм решения, точно такой же, как и в предыдущем примере: В данном примере знаменатель более высокого порядка малости, чем числитель.

Например, еслито — уже в 40 раз больше…. И совсем простой демонстрационный предел: В результате получено конечное число. Хозяин числителя ровно в два раза толще начальника знаменателя.

Это ситуация, когда числитель и знаменатель одного порядка малости. На самом деле сравнение бесконечно малых функций давно фигурировало на предыдущих уроках: Что принципиально важно во всех рассмотренных примерах?

Во-первых, предел должен вообще существовать в данной точке.

  • Теорема о замене функции на эквивалентную под знаком предела
  • Высшая математика: Учебное пособие для студентов технических вузов. Часть 1

Например, предела не существует. Подобные, казалось бы, вычурные примеры встречаются на практике: Действительно, если. Избавляемся от четырёхэтажности дроби, получаем неопределённость и раскрываем её стандартным методом.

Возможно, начинающих изучать пределы сверлит вопрос: Вот есть неопределённость 0: Рассмотрим тот же предел. Но этого, вообще говоря, и не требуется, важно чтобы функция существовала В ЛЮБОЙ бесконечно близкой к нулю точке или более строго — в любой бесконечно малой окрестности нуля.

То есть для существования предела функции в точке не имеет значения, определена ли там сама функция или .